金融工学の計算(２)〜連続複利のディスカウントファクター(DF):理論編その２

前回、年複数回の利払いがある場合のDFについて、年n回の利払いがある場合は、

$DF = (1+\frac{r}{n})^{-nt}$

と表せるところまでやりました。

では、この利払い回数を限りなく多くした場合（あまり現実的ではないですが）どうなるでしょう。

$\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{r}{n} \right)^{-nt} = \lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{r}{n} \right)^{n(-t)}$

ここで、 $\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{r}{n} \right)^{n}$ は、自然対数の底の定義 $\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^{n}$ の変形で、 $\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{r}{n} \right) ^{n} = e^r$

ですので、

$\lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{r}{n} \right) ^{n(-t)} = e^{-rt}$

となります。これが、連続複利のディスカウントファクター、といわれるものです。すごくシンプルになりましたね。

なぜ、ディスカウントファクターをこのような形で表すかと言うと、DFは金融工学計算の要なので、指数計算や微積分が簡単になるe(ネイピア数)で表せると、計算が便利になるのです。

では、この式を次回からRuby・Haskellで表現してみることにします。